Okunma: 2395 kez

Bunun sonucu olarak, kolayca ifade edilebilen bazı vargılar matematiksel açıdan bakıldığında sıradan görünüp gerçek dünya sahnesinde derin anlamlar taşıyabilmekte. Bu yazıda amacımız, bu olgunun birkaç basit örneğini incelemek. Okuyucunun konuya katılmasına olanak vermek ve sezgilerini sınamak amacıyla bazı soruların cevaplarını yazının sonuna bıraktık.

Ne kadar büyüğe BÜYÜK demeli?

Neredeyse her gün yerkürenin nüfusunun aşırı hale geldiği hakkında birşeyler okuruz. Gelin bunu gerçek dünya testine tabi tutalım. Her kenarı 1000 m. olan bir küp oluşturalım. Bu hiç de küçük bir küp değil. Her kenari on futbol sahası uzunluğunda. Yine de üniversitemizin kampüsünün ortasına bu on futbol sahasını uç uca koyduğumuzu göz önüne getirebiliriz. Aynı şeyi kübün genişliği ve yüksekliği için de yapabiliriz. İnanır mısınız ki bu küp dünyadaki bütün erkek, kadın ve çocukları içine alabilir ve epeyce de yer artar? Eğer bütün dünya nüfusu kampüsümüzün ortasında bir kutuya sığıyorsa dünya nüfusu gerçekten çok fazla mıdır? Bunu düşünmeyi size bırakıyorum.

Soru 1: Bir sayfa kağıdı alın ve ikiye katlayın. Sonra tekrar ikiye katlayın, ve bunu 51 kere tekrarlayın. Ortalama bir sayfa kağıdın kalınlığı 0.0075 cm. olduğuna göre elimizdeki kağıt yığınının yüksekliği ne olur?

Kalkulüs dersini anlatırken sık sık fonksiyonunun grafiğini tahtaya çizeriz. Hepimiz biliriz ki bu grafik ``hızla yükselir''. Ama gelecek sefer birisinin bu grafiği tahtaya çizdiğini gördüğünüzde şu gercek dünya testini uygulayin.

Soru 2: x=42 cm. iken 'in grafiğinin yüksekliği ne olmalıdır?

A.B.D. hükümeti şimdilerde yılda birbuçuk trilyon dolar harcamakta. Bu 1.500 milyar demektir. (Burada dikkatli olmak gerekir. ``Milyar'' sözcüğü İtalyanca kökenlidir ve İtalyanca'da ``milyon milyon'' anlamına gelir. A.B.D.'de yanlış tercüme edilip ``bin milyon'' yerine kullanılmıştır.) Böyle bir sayının büyüklüğünü kavrayabilmek için ilkönce bir milyarın ne kadar büyük olduğunu anlamamız gerekir. Aslına bakarsanız bir milyar zaten inanılmaz derecede büyük bir sayıdır. Örneğin, kötü bir şirkete bir milyar dolar yatırsam ve bu şirket yılın her 365 günü günde 10.000 dolar zarar etse, emekli olduğumda param kalır mı kalmaz mı diye endişelenmem olasıdır. Aslında endişelenecek bir şey yok. Şirketin yatırımımı tüketmesi bu hızda bile 200 yıldan fazla alır. Buna karşılık, eğer kalemimin kapağını alıp bir milyar kez büyütecek olursam uzunluğu 153.000 km. genişliği de 12.900 km. olur ve yerküre kapağın içine sığar (Yerkürenin çapı yaklaşık 12.700 km.'dir). Aslına bakarsanız bir milyar öylesine büyük bir sayıdır ki İsanın doğumundan itibaren bir milyar dakika geçmesi için 20 Nisan 1902 günü saat 10:40'a kadar beklemek gerekmiştir. Umarım sizi bir milyarin gerçekten büyük bir sayi olduğuna ikna etmişimdir. Buna karşılık, bir milyar çok da büyük olmasa gerek, çünkü 5 doları bozdurmanın bir milyardan fazla değişik yolu vardır [d2].

Amerika tarihinde, 1626 yılında Peter Minuet'in Manhattan Adasını [d3] Amerikalı yerlilerden 26 dolarlık mal karşılığı satın aldığı yazılıdır. Bugün Manhattan Adası dünyadaki en pahalı gayrımenkullerden biridir. Herhalde Amerikalı yerlilere mallarının değerine daha uygun bir fiyat ödememiz gerek.

Soru 3: Amerikalı yerliler 26 dolarlarını 1626'da %6 faizle bankaya yatırmış olsalar bugün kaç paraları olurdu?

Bir Şükran Günü akşam yemeğinde aile ve akrabaların da bize gelmesiyle 14 kişi olmuştuk. Oturma odasına etrafında 14 sandalyesiyle uzun yemek masasını kurduk. Annem herkese gidip yerlerine oturmalarını söyledi. Çoğunlukla olduğu gibi, kimse nereye oturacağına bir türlü karar veremeyip masanın etrafında dikilip durdu. Annem kızmaya başlamıştı, çünkü biz masanın etrafında dönüp dururken beri yandan yemek soğuyordu. Bunun üzerine anneme 14 kişinin masaya yerleşmesinin ne denli karmaşık bir iş olduğunu anlattım. 14 kişi bir masaya 14! degişik şekilde yerleşebilir. (Herkes birer sandalye kaydığında oluşan yerleşimi eskisinden farkli saymayacak olursak 13!) 14! çok büyük bir sayıdır. Bu sonucun yerli yerine oturması için şu soruya cevap verin.

Soru 4: 14 kişi masaya yerleşsinler, sonra kalkıp değişik bir biçimde tekrar yerleşsinler, ve sonra bir daha, bir daha, ... Her defasında herkesin yerine yerleşmesi için bir dakika zaman tanıyacak olursak masanın etrafında mümkün bütün değisık şekillerde oturulması ne kadar zaman alır?

Diyelim ki ben bir şirkete 35.000 km. uzunluğunda bir ip yaptırdım. Bu yaklaşık olarak dunyanın ekvatordaki çevresi kadardır. İpimi alıp dünyanın etrafına dağların, okyanusların, çöllerin üzerinden dolaştırıp başladığım noktaya geri getirerek sarmak istiyorum. Yazık ki şirket bir hata yapmış. İpi gereğinden 12 metre daha uzun yapmışlar. İpi boşa vermek istemediğim için yine de ipin iki ucunu birbirine bağlayıp parmaklarımla altından tutarak dünyanın etrafına öyle bir şekilde sarayım ki ipin yerden yüksekliği dünyanın her yerinde aynı olsun. Fazla 12 metre ipi dünyanın 35.000 km.'lik çevresine düzgün bir biçimde yaydığımda ipin yerden yüksekliği ne olur? Muhtemelen sandığınızdan daha fazla, çünkü ipin altından ayakta geçmem mümkün. Şimdi diyelim ki şirkete bir bilyenin çevresine sarmak için 3 cm. uzunluğunda bir ip yaptırayım. Maalesef şirket yine bir hata yapıp bana gereğinden 12 metre daha uzun bir ip göndermiş. Daha önce yaptığım gibi ipin uçlarını bağlayayım, altından parmaklarımla tutup ipin bilyeden uzakliği her noktada aynı olacak şekilde bilyenin etrafına sarayım. Fazla 12 metre ipi bilyanın 3 cm.'lik çevresine düzgün olarak dağıttığımda ipin bilye yüzeyinden yüksekliği ne olur? Sürpriz! Bu iple bilye arasındakı uzaklık, diğer iple dünya arasındaki uzaklıkla aynıdır.

Soru 5: Kayak yapmak için bir dağa saatteki hızı 5 km. olan bir teleferikle tırmanırken sabırsızlanıp kendi kendime karar veriyorum: Tepeye vardığımda aşağıya öyle hızlı kayacağım ki yolculuğumdaki ortalama hızım (iniş ve çıkış dahil) saatte 10 km. olacak. Asağıya ne hızla kaymam gerekir?

Herbiri 0 ile 9 arasında üç tane tamsayı kullanarak yazabileceğim en büyük sayı kaçtır? Biraz düşünürsek sonucuna varabiliriz. Yazık ki böyle bir sayı yok. Bunun nedeni, tabii ki olmasıdır. Bu yüzden, (1) bir anlam ifade etmez. Biraz daha düşünürsek bu son iki sayıdan daha büyük olanını seceriz. Bu sayı, gerçekten büyük bir sayıdır. Ne kadar büyük diye mi soruyorsunuz? Bu sayı 9'un kendisiyle 387.420.489 kere çarpımına eşittir. Bu, buzul çağını oluşturan kar tanelerinin sayısından daha fazladır (Bu sayının bir milyarın bir milyarıncı üssü olduğu tahmin edilmektedir). Aslına bakarsanız bu sayı bugüne kadar yağmış bütün kar tanelerinin sayısından da daha fazladır. Bu sayı Eddington'un evrendeki elektronların sayısı için olan tahmininin 4 milyon katıdır. (İngiliz matematikçi, astronom ve fizikçisi Sir Arthur Eddington'u [1882-1944] hatırladınız mı?). Bakteriler mikroskopik canlılar olmalarına karşın bu kadar bakteri bütün Samanyolu galaksisini doldurmaya yeter.

Soru 6: Diyelim ki (2)'deki sayıyı daktiloyla yazmaya kalktım. Ne kadar kağıda ihtiyacım olur?

Olasılık

Olasılık teorisi büyük ihtimalle çoğunluk insanın matematiğin en az anladığı alanıdır (Bazı kumarbazlar hariç). Örnek olarak uçaktan korkan tarih profesörü arkadaşımı ele alalım. Bir gün bana şöyle sordu: ``Bir uçakta bomba bulunması olasılığı nedir?''. Bilmediğimi, ama mutlaka milyonda birden daha az olması gerektiğini söyledim. O zaman sordu: ``E peki, bir uçakta iki bomba birden olması olasılığı nedir?''. Cevap olarak (bu iki olayin bağımsız olduğunu varsayarsak) bir bomba olması olasılığının karesi, yani trilyonda bir dedim - ki bu gerçekten astronomik bir sayıdır. O günden sonra her uçağa binişinde yanında bir bomba bulundurdu, çünkü bu uçakta başka bomba bulunması olasılığını milyonda birden trilyonda bire düşürüyordu.

Soru 7: Her sabah kalktığımda çekmecemde 4 tek çorap bulunur: ikisi kırmızı ikisi mavi. Sabah sersemliğiyle rastgele iki çorap seçip giyinirim, sonra okula giderim. Çoraplarım ne sıklıkla aynı renkte olur?

Soru 8: Ünlü bir televizyon yarışma programında yarışmacıdan üç kapıdan birisini seçmesi istenir. Kapılardan ikisinin arkası boştur, diğer kapının arkasında ise ``muhteşem'' bir ödül vardır. Yarışmacı bir kapıyı seçtikten sonra yarışmanın sunucusu diğer iki kapıdan birini açip arkasının boş olduğunu gösterir, ve yarışmacıya açılmamış diğer kapıyı mı yoksa önceden seçtiği kapiyi mi istediğini sorar. Yarışmacı seçimini değistirmeli midir?

Çok ilginç bir problem ``doğum günü problemi''dir. Bir konferans salonunda 150 kişi var ve ben size bu odada doğum günleri ayni olan iki kişinin bulunduğuna bire bir bahse girmeyi öneriyorum. Bu adil bir bahis midir? Pek değil, çünkü şans 4.100.000.000.000.000'e 1 sizin aleyhinizde. Ne oldu peki? n insanın her birinin doğum günü yılın 365 gününden herhangi biri olabilir (Artık yılları hesaba katmıyoruz). Öyleyse doğum günleri değişik şekilde dağılmış olabilir. n kişinin doğum günleri farklı günlerdeyse birinci kişinin doğum günü için 365 değişik seçenek vardır, ikinci kişi için geriye 364 seçenek kalır, üçüncü kişi içinse 363, ... . Sonuç olarak, n kişilik bir grupta doğum günleri aynı olan iki kişinin bulunmaması olasılığı

dır. Tabii ki en az iki kişinin doğum gününün aynı olması olasılığıdır. Örneğin, n=20 ise, 'dir, n=22 içinse , ve son olarak n=23 ise 'dir. Öyleyse, eğer bir odada 23 kişi varsa, iki kişinin doğum günlerinin çakışması olasılığı %50'den fazladır. Bu sonucu gerçek yaşamda deneyelim. Clinton ABD'nin 42. başkanıdır. Formülümüzü n=42 için hesaplayacak olursak elde ederiz. En azından iki ABD başkanının yılın aynı gününde doğmuş olması olasılığı %90'dan fazla olmalı. Aynı şekilde, %90'dan fazla olasılıkla en az iki ABD başkanı yılın aynı günü ölmüş olmalı. Polk ve Harding 2 Kasım'da doğdular ve Jefferson, Adams ve Monroe 4 Temmuz'da öldüler, yani hesabımız doğru.

Matematik ve ``Gerçek Yaşam''

Bir defasında, verdiğim cebir dersi için ``problem çözme'' konusunda bir tartişma başlatmasi amacıyla bir problem uydurdum. Öğrencilerime geçen yıl bahçemdeki herşeyi tavşanların yediğini, bu yüzden bu yıl bahçenin etrafını bir çitle çevirmeye karar verdiğimi söyledim. Ambarıma baktığımda bir tane 44 metrelik çit parçası, 48 tane de bir metrelik çit parçasi buldum. Çit parçalarını bölmeden çevreleyebileceğim en büyük bahçenin alanı nedir? Sınıftaki öğrenciler iki ihtimal olduğunda karar kıldılar. Birincisine göre 44 metrelik çit parçasının ucuna bir tane bir metrelik parça ekleyip boyu 45 m. eni de 1 m. olan bir dikdörtgen yaparak 45 .'lik bir alani çit parçalarının tamamını kullanarak çevreleyeceklerdi. Öteki seçenege göre yine çitin tamamı kullanılarak 44 m. boyunda ve 2 m. eninde bir dikdörtgenle 88 .'lik bir alan çevreleniyordu. 88 .'nin en iyi çözüm olduğuna karar verdiler. Bu cevabı beklediğim için yanımda bir teneke benzin getirmiştim. 44 m'lik çit parçasını üzerine benzin döküp yaktım. Kalan 48 tane bir metrelik parçayı kullanarak 12'ye 12'lik bir kare yapıp 144 .'lik bir alan çevreledim. Sonra öğrencilerime onların kullandığının neredeyse yarısı kadar çıt kullanarak nasıl onlarınkinin yaklaşık iki kati alan çevrelediğimi sordum. Biraz tartışmadan sonra birkaç önemli gerçeğin farkına vardılar. (1) Çitin uzunluğunun artması her zaman çevrelediği alanı artırmaz. (2) Problemin aslında bulunmayan sınırlamaları eklememeye dikkat etmek gerekir. Örneğin, onlara bahçenin dikdörtgen şeklinde olması gerektiğini, ya da bütün çit parçalarını kullanmaları gerektiğini söylememiştim. Sonunda benim bulduğum çözümden daha iyisini bulabileceklerini farkettiler. 44 m'lik çit parçasının bir bölümünü dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin bir kenarı olarak kullanıp kalan 48 parçayla dikdörtgenin diğer üç kenarını oluşturmaya karar verdiler. Bir kenarı bir nehirle belirlenmiş bir bahçe düşünün. Klasik bir kalkulüs problemi, diğer üç kenar için kullanacağınız çitin uzunluğu sabit olmak koşuluyla en geniş alanlı dikdörtgeni oluşturmak için dikdörtgenin boyunu eninin iki katı yapmak gerektiğini söyler. Bizim örneğimizde, bu boyutlarında bir dikdörtgen oluşturmak ve 44 m.'lik çit parcasını dördüncü kenar yerine kullanmak anlamına gelir ki böylelikle 288 .'lik bir alan elde ederiz. Bu bir cebir dersiydi, öyleyse neden ``klasik bir kalkulüs problemi'' verdim onlara? Aslına bakarsanız bu ``aptalca'' bir kalkulüs problemidir. Bu soru sadece cebir kullanılarak kolayca çözülebilir ve öyle çözülmelidir. Kalkulüs sadece kalkulüs gerektiren problemlerde kullanılmalıdır. Tek yapmamız gereken dikdörtgenin kısa iki kenarının uzunluğuna x demek. O zaman uzun kenarın uzunluğu 48 - 2x ve dikdörtgenin alanı A(x)=x(48-2x) olur. Klasik bir cebir numarası olan ``kareye tamamlama'' tekniğini kullanacak olursak şunu gözleriz

O zaman, belli ki A(x) maksimumuna, çikardığımız miktar en küçük olduğunda ulaşır (yani 0 çıkardığımızda). Öyleyse A(x), x = 12 olduğunda maksimum olur. Bu da hikayemizin sonu, değil mi? Değil.

Soru 9: Elimdeki çit parçalarıyla çevreleyebileceğim en büyük alan nedir?

Pizzacılar çoğunlukla pizzayı dilimlerlerken merkezden geçerek keserler. Neden? Bariz bir sebep bütün dilimlerin aynı büyüklükte olması, böylelikle pizzayı aramızda eşit olarak paylaşabilmemiz. Ama sadece iki kişiysek eşit paylaşmanın tek yolu bu mudur? Aslında pek çok değişik yol var. Bir seçenek merkezden başka bir nokta seçip pizzayı bu noktadan geçen eşit açılar halınde dilimlemek. Ama eğer 4 dilime bölmek istiyorsak, ``dilim''lerden biri pizzanın neredeyse tamamı olabilir. Demek ki bu yöntem pek iyi değil. Öyleyse bu şekilde düşünmeye değmez. ORADA DURUN BAKALIM.

Soru 10: Diyelim ki pizzayı yukarıda anlattığımız gibi merkezden farklı bir noktadan 8 eşit açılı parçaya bölelim. İkimize eşit miktarda pizza düşmesi mümkün müdür?

Kalkulüs ve Gerçek Yaşam

İlk karşılaştığımız (çoğunlukla cebir derslerinde) seri toplamlarından biri şudur.

Bu formülün bir uygulamasi olarak Hindistan hükümdarı ve satrancın mucidinin hikayesini hatırlayalım. Hikayeye göre hükümdar bu buluşa öyle memnun olmuş ki mucide krallığından ne isterse alabileceğini söylemiş. Mucit tüm istediğinin satranç tahtasının birinci karesi için buğday tanesi, ikinci karesi için buğday tanesi, üçüncü karesi için buğday tanesi, ... olduğunu söylemiş. Hükümdar ülkesinden ne isterse vereceğini vaadettigi mucidin topu topu ``birkaç buğday tanesi'' istemesine hayret etmiş. Ne var ki, hükümdar vaadini yerine getirememiş ve buna çok şaşmış. (3)'dan görebileceğimiz gibi hükümdarın mucide buğday tanesi borcu vardır. Bu hiç de az bir miktar değildir. Ne kadar diye mi soruyorsunuz? Bütün dünyanın yüzeyini 2.5 cm. kalınlığında bir tabaka halinde kaplayacak kadar.

Bununla bağlantılı bir problem de ``Hanoi Kuleleri'' problemidir. Söylentiye göre büyük Benares tapınağına ``Yaratılış'' sırasında Tanrı içinde 3 elmas çubuğun dikili durduğu pirinçten bir tabak koymuş. Sonra ortası delikli 64 altın diski çubuklardan birinin üzerine en büyüğü en altta, ondan bir küçüğü bir üstte, vs. olmak üzere oturtmuş. Tanrı sonra tapınağın rahiplerine 64 altın diski bu çubuktan diğer çubuklardan birine aktarmalarını söylemiş. Ama şu kurallara uymalarını şart koşmuş: (1) Her defasında yalnızca bir disk yerinden oynatılabilir. (2) Hiçbir disk kendisinden daha küçük bir diskin üzerine konulamaz. Rahipler diskleri aktarmayı bitirdiklerinde dünyanın sonu gelecekmiş. Geçen gün rahipler işi bitirmek üzere olabilirler mi diye endişelenmeye başladım. Herhalde hemen yaşam sigortamın miktarını artırsam iyi olur diye düşündüm. Ama, biraz düşünürsek rahiplerin diskleri aktarmaları için hamle gerektiğini buluruz. (Hindistan hükümdarının satrancın mucidine borcu olan buğday tanelerinin sayısı kadar.)

Soru 11: Eger rahiplere, her ağır diski bir çubuktan diğerine aktarmaları için 1 dakika zaman tanıyacak olursak işlerini bitirmeleri ne kadar sürer?

Biraz daha ileri kalkulüse girersek, (3)'deki denklemde ise, n'i sonsuza götürdüğümüzde

förmülünü elde ettiğimizi görürüz. r = 1/2 olduğunda, denklemin iki tarafından 1 çıkarırsak ortaya

formulu çıkar. İtiraf etmeliyim ki bu bütün matematik formülleri arasında en sevdiğim olabilir. Bu formül pek çok ilginç problemi çözmekte kullanılabilir. Birincisi meşhur ``kurbağa ile duvar'' problemidir. Bir kurbağayı bir duvardan 1 m. öteye koyup birinci sıçrayışta bu uzaklığın yarısını, ikinci sıçrayışta yine kalan uzaklığın yarısını, üçüncü, dördüncü, vs. sıçrayışlarında hep kalan uzaklığın yarısını alarak devam etmesini söyleyelim. Kurbağa duvara ulaşır mı? Tabii ki ulaşır. Bunun nedenini (4) numaralı denklemden anlayabiliriz. İlk sıçrayışında kurbağa 1/2 m. yol almıştır. İkinci sıçrayışında ise m., ücüncü sıçrayışında m., vs. Öyleyse, denklem (4)'den çıkaracağımız sonuç kurbağanın toplam 1 m. yol aldığıdır, ki bu da kurbağanın duvardan başlangıçtaki uzaklığıdır. ``Ama dur bakalım'' diyeceksiniz, ``kurbağa duvara varamaz, çünkü sonsuz kez sıçraması gerek''. En sevdiğim formülüm burada da imdadıma yetişir. Kurbağaya ilk sıçrayışını 1/2 saniyede, ikinci şıçrayışını saniyede, ... yapmasını söylerim. Böylece bütün sıçrayışlarını 1 saniyede tamamlar ve duvara ulaşır. Hala ikna olmadınız mı? Diyelim ki kurbağayı 1 m. yüksekliğinde bir masaya koyup aşağıya ittim. Yere çabucak düşeceğinden şüpheniz yok, değil mi? Ama nasıl ulaştı yere? İlkönce yolun yarısını gitti, sonra kalan yolun yarısını, sonra yine kalanın yarısını, ... . Aynen diğer kurbağanın yaptığı gibi, değil mi? ``Hayır'' diyeceksiniz. ``Önemli bir fark var. Öteki kurbağa bu noktaların her birinde biraz durdu, halbuki bu kurbağa düşüşüne hiç aralıksız devam etti.'' Buna da bir çare bulabilirim. Masadan diğeriyle ayni anda bir başka kurbağa daha atar ve ona yolun yarısına geldiğinde 1/2 saniye beklemesini, sonra kalan yolun yarısına geldiğinde saniye beklemesini, ve bu şekilde devam etmesini söylerim. Toplam ``bekleme süresi'' yine en sevdiğim formül uyarınca 1 saniyedir. Öyleyse ikinci kurbağa birinci kurbağadan yalnızca 1 saniye sonra yere düşer ve ikinci kurbağa aradaki noktaların her birinde biraz beklemiştir. Umarım sizi kurbağanın duvara ulaşabileceğine ikna etmişimdir. İlginçtir ki bu problemin değişik ifade edilmiş bir hali, Zeno tarafından M.Ö. 550 yılında çözülmüstür.

Gözde formülümün bir diğer ilginç uygulaması ``süpermakine paradoksları''ndadır. Elimde öyle bir süpermakine var ki sıfırdan büyük miktarda bir süre vermem şartıyla ona söylediğim her şeyi yapabiliyor. Ben de ona bir lambayı 1/2 saniye sonra yakmasını, saniye sonra söndürmesini, sonra tekrar yakmasını, bu şekilde lambayı yakıp söndürerek devam etmesini söylüyorum. Bir saniye içinde süpermakinem lambayı sonsuz kez yakıp söndürmüştür.

Soru 12: Süpermakinem işini bitirdiğinde lamba yanıyor mudur yoksa sönmüş müdür?

Ampulün yanıp bozulacağını söylemek makul bir cevap değil, çünkü bu ``matematiksel'' bir ampul ve aşınmaz. Bu soru gerçekten bir paradokstur. Süpermakinenizi kullanarak istediğiniz kadar paradoks üretebilirsiniz. Örneğin, süpermakineme evimi 1/2 saniyede kırmızıya, saniyede yeşile, sonra saniyede yeniden kırmızıya boyatıp bu şekilde devam edebilirim. Bir saniyenin sonunda evim sonsuz kez kırmızıya ve sonsuz kez yeşile boyanmıştır. Evim ne renk olur sonunda? Belki de süpermakineye beni 1/2 saniyede St. Louis'den New York'a uçurmasını, sonra saniyede geri St. Louis'e getirmesini, sonra tekrar New York'a uçurmasını, ... söyleyebilirim. Herhalde anlatmak istediğimi anlamışsınızdır.

Soru 13: Kendiniz ``süpermakine paradoksları'' uydurun.

Bir şey hep kafamı karıştırmıştır. Kalkulüs dersinde serileri anlattığımızda ilk söylediğimiz şeylerden biri harmonik serinin ıraksadığıdır. Şöyle ki

Eğer bu sayıların toplamı gerçekten sonsuzsa, bunları bilgisayarımla birbirine ekleyerek hiç olmazsa 193'e (örneğin) fazla güçlük çekmeden ulaşabilmem gerekir.

Soru 14: Bilgisayarımın harmonik serinin terimlerini birbirine ekleyerek 193e ulaşması ne kadar zaman alır?

Bazen bir problem ona nasıl baktığımıza göre sezgimizle çelişir. Tipik bir örnek Banach-Tarski Paradoksudur. Aslında bu bir ``Teorem''dir ve S. Banach ve A. Tarski tarafından 1924'de kanıtlanmıştır (Wagon 1985). Banach-Tarski Teoremi (aslında bunun özel bir hali) der ki bildiğimiz üç boyutlu uzayda ( ) A ve B küreleri verilmiş olsun. A'yi sonlu sayıda parçaya bölüp bu parçaları hiç esnetmeden tekrar değişik bir biçimde bir araya koyarak B küresini oluşturabiliriz. Yüzeyden bakıldığında bu teoremde şaşacak bir şey yok gibi görünür, ta ki gerçek dünya testine tabi tutana kadar. Diyelim ki gömleğimin cebine bir bezelye tanesi koydum, ve teoremi bu bezelye ve güneş sistemimizdeki güneşe uyguladım. Güneşi sonlu sayıda parçaya bölüp sonra hiçbir parçasını genişletip küçültmeden gömleğimin cebine mi sığdırdım? Tersinden baktığımızda, bir bezelye tanesini sonlu sayıda parçaya bölüp parçaları değişik biçimde biraraya getirerek güneş büyüklüğünde bir top yapmak mümkündür. Bu nasıl mümkün olabilir? Stan Wagon (Wagon 1985) diyor ki: ``Bence bu teorik matematiğin en şaşırtıcı sonucudur. R 'ün alt kümesi kavramının sınırlanmamış haliyle ne kadar hayali bir fikir olduğunu göstermektedir.''

R, fonksiyonunun grafiğini ele alalım ve x-ekseni etrafında çevirelim. Sonsuz uzunlukta bir boynu olan bir ``trompet'' elde ederiz. Trompetimin hacmini dönel yüzeylerin sınırladığı hacimler için olan kalkulüs formülünü kullanarak aşağıdaki gibi hesaplayabilirim.

Öyleyse trompetimin hacmi litredir. Diğer yandan, dönel yüzeylerin alanları için olan formülü kullanırsak trompetin yanal alanı için aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Demek ki trompetimin alanı sonsuz. Gelin yine bunu gerçek dünya testine tabi tutalım. Diyelim ki trompet bahçemde duruyor ve gün geçtikçe paslanıyor. Doğal etkenlerden korumak için trompetimi boyasam iyi olur diye düşünüyorum. Boyacı dükkanına gidiyorum. Dükkan sahibine paslanmasın diye trompetimi boyamam gerektiğini söylüyorum. Soruyor: ``Boyamanız gereken yüzey ne kadar?''. Cevap veriyorum ``Trompetimin alanı sonsuz.'' Diyor ki ``Başınız fena halde dertte. Bu iş için sonsuz miktarda boya gerekir, ve tabii ki bende o kadar boya yok.'' ``Ama'' diyorum, ``hacmi litre (biliyoruz ki ). Bana dört litre boya verirsen trompetimi boyayla doldurabilirim. Bu da paslanmasını durdurmaya yeter.'' Dükkan sahibi hayretler içinde kalıyor ve diyor ki ``Yani bu nesneyi boyayla doldurabiliyorsunuz ama bu onu boyamaya yetmiyor mu demek istiyorsunuz?''

Soru 15: Yukarıdaki örnekteki ``çelişkiyi'' açıklayabilir misiniz?

``Gerçek Dünya''dan Yardım Almak

Bazı problemler vardır ki matematiksel olarak bakıldığında oldukça zordurlar, ama ``gerçek dünya'' açısından bakıldığında açıklık kazanırlar. Basit bir örnek ``dağa inip çıkma'' problemidir. Problem şöyle. Bir sabah saat 7'de yüksek bir dağa tırmanmaya başlıyorum. Yavaş ve yorucu bir tırmanış. Sık sık durup dinlensem de, sonunda akşam saat 17'de dağın tepesine varıyorum. Ertesi sabah 7'de aynı yoldan geri aşağıya inmeye başlıyorum. Bu yönde gitmek kolay, dağı hızla inip öğleyin dağın eteğine varıyorum. Yolumun üzerinde dağa çıkarken ve dağdan inerken günün aynı saatinde ulaştığım bir nokta olduğunu gösterebilir misiniz? Buna cevap vermek için iki günü üst üste bindiririz. Böylelikle sabah saat 7'de birimiz dağa tırmanmaya başlarken diğerimiz dağdan inmeye başlar (sadece bir gün sonra). Tabii ki yolda biryerde kendimizle karşılaşacağız. İşte ispat.

Soru 16: İki bardağım var. Birisi yarısına kadar şarapla dolu, diğeriyse yarısına kadar suyla dolu. Şarap bardağından bir kaşık şarap alıp su bardağına koyup karıştırıyorum. Sonra bu karışımdan bir kaşık alıp şarap bardağına koyuyorum. Bu işlemin sonucunda şarap bardağındaki su mu daha çok olur su bardağındaki şarap mı?

Soru 17: Elimde yoğunluğu her yerinde aynı olmayan konveks bir politop var. Politopun her yüzü için kütle merkezinden yüzün bulunduğu düzleme dik inen doğruyu düşünün. Bu doğru tabii ki politopun yüzünden geçmeyebilir. Bu doğrulardan en az birinin dik olduğu yüzden geçtiğini kanıtlayın.

Bu soruların ve pek çok diğer sorunun cevaplarını bu yazının sonundaki kaynaklara başvurarak bulabilirsiniz.

Soruların Cevapları

Cevap 1: Kağıt yığınının yüksekliği 171.550.570 km.'dir ve dünyayla güneş arasındaki uzaklığı geçmiştir.

Cevap 2: x=42 iken 'in grafiği 5.3 ışık yılını aşmıştır ve Alpha Centurion'u (Samanyolu galaksisinde bize en yakın yıldızdır) geçmiştir. Bu yıldız bize sadece 4.3 ışık yılı uzaklıktadır.

Cevap 3: Çok. Hesaplarının bu yılki faizi bir trilyon doları aşkın olurdu.

Cevap 4: 160.000 yıldan daha fazla alacağına inanır mısınız?

Cevap 5: Ne kadar hızlı kayarsanız kayın bu imkansız. Yolun yarısını gittikten sonra yolculuktaki ortalama hızınızı iki katına çıkaramazsınız. Ortalama hız yolun zamana bölümü olduğundan, yolu iki katına çıkardığınızda hızı da iki katına çıkarmanız için zamanın aynı kalması gerekir, bu da imkansızdır.

Cevap 6: Bu sayıyı yazmak için 1.600 km.'den daha uzun bir kağıt gerekir.

Cevap 7: Yazık ki üç günün ikisinde çoraplarım farklı renkte olur.

Cevap 8: Yarışmacı seçimini değiştirirse kazanma şansı iki katına çıkar.

Cevap 9: Eğer ``Değişkenler Analizi'' diye bir ders alırsanız, çevre sabit olmak koşuluyla en çok alan çevreleyen şeklin bir çember olduğunun ispatını görürsünüz. Bizim elimizdeki çit parçalarıyla çevreleyebileceğimiz en büyük alan ise bir yarım çember şeklindedir (aslinda yarım bir 96-gen) ve 48 tane 1 m.'lik parçanin oluşturduğu yarım 96'geni 44 m.'lik parçayla kapatarak elde edilir. Çevrelenen alan yaklaşık 367 m '.dir. Bu başlangıçta buldukları 88 m .'den daha iyi, değil mi?

Cevap 10: Dilimlere saat yönünde artacak şekilde 1'den 8'e kadar numaralar verirsek, tek numaralı dilimlerin toplam alaniyla çift numaralı dilimlerin toplam alanı aynı olur. Bu ve ilginç benzerlerinin ispatı için (Carter ve Wagon 1994)'e bakınız. Bir de, bunu bir arkadaşınızda deneyin ve görün bakalım ne tepki veriyor. Bakalım ikinizin de aynı miktarda pizza aldığınıza arkadaşınızı ikna edebiliyor musunuz.

Cevap 11: Rahiplerin bütün diskleri bir çubuktan diğerine aktarmaları için 58.454.206.609 yüzyıldan daha fazla zaman gerekir. Galiba yaşam sigortamı olduğu gibi bıraksam da olur.

Cevap 12: Bu gerçekten bir mantıksal paradokstur, yani cevap verilemez bir sorudur.

Cevap 13: Hayal gücünüz sizi nereye götürüyorsa doğru cevap odur.

Cevap 14: Eger bilgisayarım saniyede 1 milyon işlem yapabiliyorsa ve eğer dakikada 60 saniye, saatte 60 dakika, günde 24 saat, haftada 7 gün ve yılda 365 gün çalışsa, ve geçtiğimiz 5 milyon yıldır hiç aralıksız çalışıyor olsa şu anda topu topu 191'e ulaşmış olurdu. Yani şimdi harmonik seri gerçek dünyada gerçekten ıraksıyor mu?

Cevap 15: Dükkan sahibi çok yapılan bir ``gerçek dünya'' hatası yapıyor. Sonsuz bir yüzeyi boyamak için sonsuz boya gerektiğini varsayıyor. Halbuki benim en sevdiğim formülü kullansaydı bu sonsuz yüzeyi bir kaşık boyayla boyayabilirdi. Tek yapması gereken süpermakineme trompetin ilk bir metresini 1/2 kaşık boyayla (ve 1/2 saniyede) boyamasını, sonraki bir metresini kaşık boyayla (ve saniyede) boyamasını ve bu şekilde devam etmesini söylemekti. Böylelikle bütün trompeti bir kaşık boyayla boyayabilirdi ve bütün iş bir saniyede biterdi.

Cevap 16: İkisi de aynıdır. Aynı işlemi tekrar tekrar yapsam da yine aynı kalırlar. Bir matematik problemi olarak bu çok tatsız bir hal alabilir. Ama bir gerçek dünya problemi olarak alındığında çözüm aşikardır. Çünkü, her iki bardakta başlangıçtakiyle aynı miktarda sıvı bulunmaktadır. Yani suyun içindeki her şarap molekülü orada bulunması gereken bir su molekülünün yerini almaktadır, ve bunun tersi su bardağı için geçerlidir. Hepsi bu kadar.

Cevap 17: Politopu alıp yere atın. Yuvarlanması durduğunda kütle merkezi yerdeki yüzün üzerinde olmak zorundadır.

Kaynak:

- İngilizce'den çeviren Serdar Taşıran

- Larry Carter ve Stan Wagon. Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza Mathematics Magazine, 67, 1994, page 267

- Peter G. Casazza. Paradox Lost Alabama Journal of Math., Fall 1977, pages 63-73

- Peter G. Casazza. Are There Any Uninteresting Natural Numbers? Alabama Journal of Math., Fall 1977, pages 27-38

- Peter G. Casazza (Published under the "Pen Name" of Cathy Peters). Give Me a Tablespoon of Paint and I will Paint the Whole Universe Alabama Journal of Math., Fall 1978, pages 33-39

- Peter G. Casazza (Published under the "Pen Name" Patricia Caldwell). On Pepperoni Pizzas, Ham Sandwiches, and other Important Mathematical Problems Alabama Journal of Math., Spring 1979, pages 20-25

- Peter G. Casazza (Published under the "Pen Name" Cora Green). Is Probability Probable? Alabama Journal of Math., Fall 1979, pages 9-17

- Peter G. Casazza. Maximizing Areas without Calculus Alabama Journal of Math., Vol. 7, No. 2, 1984, pages 29-43

- L.J. Upton. Problem 660 Mathematics Magazine, Vol. 41, 1989, pages 120-122

- Stan Wagon. The Banach-Tarski Paradox Encyclopedia of Mathematics, Vol. 24, 1985, Cambridge University Press.

Dipnotlar:
[d1] Department of Mathematics, The University of Missouri, Columbia, Missouri 65211, U.S.A., petecasazza.math.missouri.edu. Bu yazı Missouri Üniversitesinde Ocak 1993'de yapılan ``Matematiksel Delilik'' adlı bir konuşma temel alınarak yazılmıştır.
[d2] 5 dolardan daha küçük paralar 1 dolarlık ve 25,10, 5 ve 1 sentliklerdir.
[d2] New York şehrinin üzerine kurulu olduğu adadır

Etiketler:  

Bilimler
Matematik
Matematik ve Sezgi

Sadece kayıtlı kullanıcılar yorum yazabilirler.
Lütfen hesabınıza giriş yapınız veya kayıt olunuz.

---