Okunma: 2553 kez

Uzay-Zamanın Geometrisi

Önceki kesimde verilen Lorentz dönüşümleri birbirlerine göre sabit hızla hareket eden iki koordinat sistemindeki uzay koordinatları ve zamanlar birbirlerine bağlayan lineer dönüşümlerdir. Bu dönüşümleri esas alarak uzay koordinatları ve zamanın benzer roller oynadığı bir dört boyutlu uzayın geometrisini kurmak mümkündür. Lorentz dönüşümleri altında

x²+y² + z² - c² t²

büyüklüğünün değişmez olduğunu yani bütün koordinat sistemlerinde değerinin aynı kaldığını biliyoruz. Bu özellik, üç boyutlu Öklityen uzayda bir vektörünün boyunun koordinat eksenlerinin dönmeleri altında değişmez olmasının hatırlatır

Örnek olarak yandaki şekilde görülen x-y eksenlerini q kadar döndürmekle elde edilen yeni koordinat sistemine dönüşüm bağıntılarını ele alalım:

x¢= x cos q + y sin q

y¢= - x sin q + y cos q                                                                       (7.15)

z¢=z

Bu dönüşüm altında  vektörünün boyu değişmez kalır. (7.15) bağıntıları yardım ile

X² + y² + z² = x¢² + y¢² + z¢²                                                                           (7.16)

olduğu kolayca görülebilir. (7.15) bağıntıları üç boyutlu “ortogonal dönüşüm” lere bir örnektir; gerçek ve bir vektörün boyunu değiştirmeyen dönüşümlere ontogonal dönüşüm adı verilir. Ortogonal dönüşümlerin özellikleri gelecek kesimde daha ayrıntılı olarak incelenecektir.
Bu formalizmi dört boyutlu uzaya genellemek için, x² + y² + z² –c² t²     olmak üzere kemiyetini uzay-zamanda bir vektörün boyunun karesi olarak yorumlarsak karşımıza bir problem çıkar. Dördüncü bileşen ct’nin karesi ifadeye eksi işaretle girmektedir. Bu temel olarak uzay-zamanın Öklityen olmayan dört boyutlu bir uzay olduğunu gösterir. Karşımıza çıkan problemlerden birçoğun koordinatları, i=

x₁=x                 x₂=y                 x₃=z                 x₄=ict                                      (7.17)

seçerek çözebiliriz. Bu dört boyutlu uzay (ilk kullanan Minkowski) Öklityen değildir, çünkü sanal bir koordinat içermektedir. Minkowski uzayının birçok özellikleri bir Öklit uzayı gibi ele alınarak türetilebilir.

büyüklüğü belirli dönüşümler altında değişmez kalır. Lorentz dönüşümlerini de içine alan bu dönüşümler ortogonal dönüşümlerin birçok özelliklerine sahiptirler fakat bu dönüşümler bazı sanal bileşenlere sahip olanaklarından, tam doğru olarak “karmaşık ortogonal dönüşümler” ismini almalıdırlar. Aşağıdaki tartışmalarda bu farklılığın önemli bir sonucu yoktur ve Minkowski uzayında Lorentz dönüşümleri ortogonal dönüşüler olarak ele alınacaklardır.

(x₁, x₂, x₃, x₄) ile tanımlanan büyüklüğe dört-boyutlu vektör (kısaca dörtlü vektör) adı verilir. Lorentz dönüşümleri altında (x₁, x₂, x₃, x₄) bileşenleri gibi dönüşen diğer dört bileşenli vektörler tanımlayacağız.

Etiketler:  

Bilimler
Matematik
Uzay-Zamanın Geometrisi

Sadece kayıtlı kullanıcılar yorum yazabilirler.
Lütfen hesabınıza giriş yapınız veya kayıt olunuz.

---