Limit ve Alef sayıları ile Sonsuzluğu kavramak

Mar 06 2008

Limit ve Alef sayıları ile Sonsuzluğu kavramak

(1 Oy)

Alp Eren H.A.lî.M

Perşembe, 06 Mart 2008

Okunma: 1172 kez

Elea’lı Zenon’un felsefe dünyasına yaptığı bir katkıdan söz etmek mümkün değil. Mesaisinin büyük kısmını hocası Parmenides’i savunmaya harcıyor. Parmenides duyularımızın bizi yanılttığını düşünmekte; ona göre hareket ve çeşitli-lik bu yanılsamanın ürünleri. Gerçek varlık ise tek ve değişmezdir. Zenon, hocasının tezlerini kuvvetlendirmek için yaygın algılama biçimlerinin zayıflığını gösterdiğini düşündüğü para-dokslar üretiyor. Ne garip ki bu paradokslar insanlığı yaklaşık 2200 yıl uğraştırıyor; hâlâ da üzerlerinde tartışmalar sürmekte. Sadece Zenon’un en ünlü paradoksu olan Aşil paradoksunu özetleyelim: Bu paradoks Yunan mitolojisinin kahramanlarından Aşil’le bir kaplumba-ğa arasındaki yarışı ele alır. Aşagıdaki şekilde, kaplumbağa B noktasından Aşil A noktasından yarışa başlıyorlar. Çok daha hızlı koşan Aşil B noktasına vardığında kaplumbağa da biraz ilerleyecek ve C noktasına varacaktır. Aşil C’ye ulaştığında kaplumbağa D’de olacaktır. Aşil ile kaplumbağa arasındaki mesafe azalsa da bu böyle sonsuza kadar devam eder ve Aşil kaplumbağayı hiçbir zaman yakalayamaz.

Zenon’un paradokslarının altında yatan, zamanı (ya da uzayı) ya sonlu sayıda bölünemeyen parçadan oluşmuş ya da sonsuz parça-ya bölünebilir kabul etme seçenekleri arasında bocalamak. Ya büyüklüğü olan ama bölünemeyen parçaların nasıl olduğunu ya da sonsuz sayıda parça toplandığında nasıl sonlu bir bütün oluşturduklarını açıklamayı göze alacağız. Bu açıklamayı yapmayı tarih boyunca pek çok insan denedi. Örneğin Kant’a göre çe-lişki bizim uzay ve zaman anlayışımızda yatıyordu. Uzay ve zaman cisimlere ait özellikler olmayıp bizim algımızın cisimlere atfettiği özelliklerdi. Sonsuz küçük ya da sonsuz büyük her türlü sonsuzluğu düşünmek insanın algı sınırlarının dışındaydı. Hegel ise sorunu parçayla bütünün, kesikli ile süreklinin birlikteliğiyle aşmayı denedi.
Zenon’un Aşil paradoksunda anlattığı, gittikçe küçülen parçalardan oluşan ve üst üste toplanan bir seriydi. Aşil’in kaplumbağadan iki kat hızlı gittiğini düşünelim. Aralarında başlangıçta 1 birim mesafe varsa, Aşil kaplumbağayı, x = |AB | + |BC | + |CD | + |DE | +... = 1+1/2+1/4+1/8+1/16... , şeklinde ifade edilebilecek ve sonsuz tane terimin toplanmasından oluşan bir x noktasında yakalayacaktır. Peki ama bu sonsuz tane sayının toplamından sonlu bir sayı elde edilebilir mi? İşte limit düşüncesinin ortaya çıktığı nokta da burası. Limit, çeşitli sorunlar yaratan sonsuzlukları ortadan kaldırıyordu. Bu anlamda son derece pratik bir buluştu. Hatta bir nevi “hile” bile içerdiği söylenebilir. Limit alma dediğimiz yönteme son halini vermek Fransız matematikçi Cauchy’ye (1789-1857) nasip oldu. Bir kralcı olan Cauchy bir ansiklopedist olan D’Alembert’in (1717-1783) yaptığı limit tanımını kullanarak bugünkü cebirin de çerçevesini çizmiş oluyordu. D’Alembert değişken bir büyüklüğün limitini, belirli bir miktarda yakınsayabildiği değer olarak tanımlıyordu. Yukar-daki “x” limittten yararlanarak hesaplandığında “2” bulunacaktır. Calculus oluşumunda Leibniz (1646-1716) ve Newton’un (1642-1727) da, özellikle türev ve integral işlemlerinin önemini ortaya koymalarıyla, büyük payları var.
Limit düşüncesinin geliştirilmesiyle iki bin yıldan daha uzun bir süre başa bela olan Zenon paradokslarına çözüm getirilmiş oluyordu. Böylece gündelik pratiklerle matematik arasında daha sıkı bir bağ kurulmuş oldu. Aslında Aristo zamanından beri çeşitli formlarda var olan limit düşüncesinin bir durgunluk döneminden sonra canlandığı 16. yüzyıl, aynı zamanda astronomi, mekanik gibi bilim dallarının da hareketli olduğu bir dönemdi. Alan hesabı yapma, yörünge belirleme, değişim hızlarını bulma gibi hesaplar yapmaya yarayacak araçlara ihtiyaç vardı, yani calculus’a –limite, türeve, integrale- ihtiyaç vardı ve bu işin üstesinden gelindi. Ama herşey bitmiş olmadı. Şu “sonsuzluk” hâlâ insanların kafasını kurcalıyordu ve kısa bir süre sonra bu konudaki en kapsamlı çalışmalardan biri ortaya konacaktı.

Kaç tane sonsuz var?
Georg Cantor (1845-1918) Rusya’da doğdu ama hayatının büyük bölümünü Almanya’da yaşadı. 19. yüzyılın son çeyreğinde yayınladığı makalelerle bugün matematikte “kümeler teorisi” olarak adlandırılan dalı yaratmış oldu. Can-tor’un istediği, sayma işlemini sonsuzun ötesine götürebilmekti. Yani öyle bir yeni sayılar kümesi oluşturulabilmeliydi ki bu sayıların en küçüğünün büyüklüğü bizim klasik sonsuz kavramımızın büyüklüğüne eşit olsun. Cantor bu sayılara “sonluötesi sayılar” adını verdi. Bu sayıları İbrani alfabesinin ilk harfi alef (¥) ve bir alt indisle ifade etti. Alef sıfır, geleneksel sonsuzluk kavramımızın büyüklüğüne eşit; diğer sayılar, alef bir, alef iki, büyüyen bir şekilde devam ediyor.
Sayma işlemi bire bir eşleme anlamına geliyor. Örneğin iki elimizde toplam kaç parmak olduğunu bulacağımız zaman her parmağımıza 1’den 10’a kadar sayıları eşleriz. Burada “10” parmaklarımızın oluşturduğu kümenin “kardinal sayısı” oluyor. Şimdi tek bir elimizdeki parmaklara ilk 10 sayma sayısını eşlemeye kalksak ilk 5 sayı eşlenecek diğerleri açıkta kalacaktır. Bu bize sonlu sayıların temel özelliklerinden birini verir: Sonlu bir sayılar kümesi herhangi bir alt kümesine eşit değildir. Buradan sonsuz kavramına geçiş yapacağız. Onun için şu örneği ele alalım: Bütün sayma sayılarının (tek+çift) oluşturduğu kümeyle, çift sayıların oluşturduğu kümeyi karşılaştıralım. İlkinin daha büyük olmasını bekleriz ama bire bir eşleme yapalım.

Bu işlemi ne kadar devam ettirirsek ettirelim her iki kümedeki sayılar da tükenmez. Bunun anlamı şudur: Bütün sayma sayılarının oluşturduğu kümeyle çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir. Sonsuzluğun tanımı bu örnekten yola çıkarak şöyle yapılıyor: Alt kümelerinden birine eşit olan bir küme sonsuzdur. Bu sonsuzluk sonluötesi ilk sayı olan alef sıfıra eşittir. Peki alef sıfırdan sonraki sayılar nasıl elde edilecek? Sağduyu, bize, rasyonel sayıların tam sayılardan daha çok olduğunu söyler. Çünkü herhangi iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Cantor ise, rasyonel sayıları özel bir şekilde dizerek bunların sayma sayılarıyla bire bir eşlenebilir olduğunu gösterdi. Yani rasyonel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir ve büyüklüğü alef sıfıra eşittir. Rasyonel sayılar kümesi-nin büyüklüğünün sayma sayıları kadar olması tuhaf geliyor. Ama asıl şenlik sonra başlıyor: Rasyonel sayılara irrasyonel sayıların eklenmesiyle oluşan küme, gerçel sayılar kümesi, alef sıfırdan daha üst bir büyüklüğe sahiptir yani sayılabilir değildir. Cantor bunun ispatını köşegenleştirme ispatı denen bir yöntemle yaptı. Birbirini takip eden iki doğal sayı arasındaki gerçel sayıların sayılamaz olduğunu göstererek tüm gerçel sayılar kümesinin sayılamaz olduğunu ispatladı. Artık sonsuzlar arasında bir ayrım yapmanın zamanıdır: Zenon paradoksuna yol açan bizim şu eski sonsuzluğumuz alef sıfır büyüklüğündedir ve sayılabilirdir. Alef bir ise gerçel sayılar kümesine karşılık gelir ve sayılabilir değildir. Gerçel sayılar aynı zamanda bizim süreklilik (continuum) kavramımıza kar-şılık geldiğinden Cantor bu kümenin sonluötesi kardinal sayısını “c” ile gösterdi. Cantor ayrıca tek anlamlı bütün gerçek fonksiyonların da daha üst bir küme oluşturduğunu gösterdi. Böylece ilk elde üç tane alef elde edilmiş oldu. Sonluötesi aleflerin sonsuz olmakla birlikte bir limit değere yakınsadıklarını da hatırlatalım.
Böylelikle Cantor sonsuzluk hakkında çarpıcı önermeler ortaya koyuyordu. Aslında çalışmaları eski zamanların sonsuzluk üzerine yapı-lan skolastik spekülasyonlarıyla paralellikler içeriyordu. Ama kümeler teorisinin önemi fonksiyonlar teorisi, topoloji gibi çeşitli alanlara uygulandıkça daha net anlaşıldı. Lakin kümeler teorisi de bu sayfalarda daha önce ele aldığımız Gödel’in “tam olmama” teoreminden muaf değil; yani tutarlılığını sonlu zamanda ispatlamak mümkün değil... KUANTUM ZENON ETKİSİ
Üzerinde gözlem yapmak bir atomun normalde yapacağı enerji seviyesi geçişlerini engelleyebilir. Bu durum 1960’larda Sovyetler Birliği’nde ve 1970’lerde ABD’de gözlenmişti. 1990’da da gerçek dünyadaki karşılıkları ortaya kondu. Zenon etkisinin nedeni iki enerji seviyesi arasında hareket eden atomun enerjisinin belirsizlikler içermesi ve bu belirsizliklerin kısa zaman aralıkları için artması. Bir atomun bir enerji seviyesinden diğerine atlayabilmesi için bu belirsizliklerin yeterince büyük olması gerekir. Ama üzerinde gözlem yapıldığında atomun enerji fonksiyonu tekrar ilk haline “çöker.” Belirsizlik tekrar büyümeye başlayacaktır ama yeterince hızlı gözlem yaparsanız atomu bir halde dondurmak mümkündür. Kısaca bahsettiğimiz kuantum Zenon etkisi hakkında bilim insanları arasında tam bir uzlaşı olmadığını, anti-Zenon etkilerin de olduğunu ve bu etkinin kuantum kuramının Kopenhag yorumuna dayandığını belirterek bitirelim.