Okunma: 2053 kez

Görünüste anlamsiz olan eksi bir sayinin karekökünü alan bir formülü, kagit üzerinde ilk olarak, Italyan matematikçi Cardan yazmistir.  10 sayisinin, çarpimlari kirk olan iki parçaya ayrilmasi olasiligi arastirilirken, bu problemin ussal bir çözümü olmamasina karsin olanaksiz sayilan iki anlatim biçiminde bir yanit elde edilebilecegini gösterdi: Cardan, bu gösterimi çekine çekine yapmis, onlari sanal ve anlamsiz buldugunu bildirmisti.  Ancak bu gösterim, eksi sayilarin kareköklerinin yazilmasina cesaret edilmesinin ilk örnegidir.
Bu çalismanin ardindan, matematik dünyasinda karmasik sayilar siklikla kullanilmaya baslanmistir.

Ünlü Alman matematikçi Leonard Euler, 1970’de yayimlanan “Cebir” kitabinda sanal sayilarin genis uygulanisi bulunuyor.  Euler, bu sayilarla ilgili olarak,  “bu sayilar gerçek degillerdir, sanaldirlar, ne sifirdan küçük ne de büyüktür.” demistir.

Denilebilir ki, sanal sayilar ailesi olagan ya da gerçek sayilarin aynadaki görüntüleridirler ve gerçek sayilarda oldugu gibi birden baslayip, bütünüyle ayni yoldan, yani sanal sayilar birimiyle ve genelde i  simgesiyle gösterilir.
Ilk kez Cardan tarafindan yapildigi gibi, gerçek bir sayi ile sanal bir sayi, tek bir terim olusturmak için birlestirilebilir.  Bu sayilar, karmasik sayi olarak bilinir.  Sanal sayilar matematik alanina girdikten sonra, biri Wessel adinda Norveç’li bir topograf, öteki Robert Argand adinda Paris’li bir muhasebeci olan iki amatör matematikçi tarafindan yalin geometrik bir yorum yapilincaya kadar, yaklasik iki yüzyil, bir anlasmazlik ve giz perdesi altinda kaldi.

Wessel ve Argand’in açiklamalarinda, 3 + 4i biçimindeki bir karmasik sayida (sekilde) 3, yatay uzakligi, yani apsisi, 4 düsey uzakligi, yani ordinati göstermektedir.

Gerçekten de bütün olagan gerçek sayilar (eksi ya da arti), yatay eksen üzerinde kendilerine karsilik olan noktalara, öte yandan bütünüyle sanal olan sayilar da düsey üzerindeki noktalarla gösterilebilirler.  
Yatay eksen üzerinde gösterilebilen bir gerçek sayiyi, örnegin 3’ü, sanal birim olan i ile çarptigimiz zaman bütünüyle 3i sayisini elde ederiz ki bu, düsey eksen üzerinde gösterilebilir.  Bundan böyle i ile çarpmak, geometrik olarak saat yelkovaninin tersi yönde bir dik açi kadar dönmeye esdegerdir.      

Simdi bir kez daha 3i ile çarparsak bir     ’lik dönüs daha yapmamiz gerekir ki bu kez sonuç olarak yeniden yatay eksen üzerine ama eksi yana geliriz.  Bu nedenle:

 Böylece görüyoruz ki “ i’nin karesi esittir –1 “ anlatimi,  “ iki kez dik açili bir dönüs ile eksi yana geliriz” anlatimindan daha iyi anlasilabilir.

Kuskusuz, ayni kural karmasik sayilar için de dogrudur.  3 + 4i ‘yi  i  ile çarparsak: elde ederiz.
Sekilde de görüldügü gibi  -4+3i ye karsilik olan nokta  3+4i ye karsilik olan noktanin baslangiç noktasi çevresinde   dönmesiyle elde edilen noktaya uymaktadir.  Bunun gibi –i ile çarpim da yine sekilde  görülebilecegi gibi baslangiç noktasi çevresinde ama bu kez saat yelkovani yönünde bir dönüsten baska birsey degildir.

Sanal sayilari saran giz perdesini ortadan kaldirmak için asagidaki probleme bir göz atalim:

Macera sever genç bir adam, büyükbabasinin babasindan kalma belgeler arasinda, gizli gömünün yerini gösteren bir kagit bulur.  Tanim söyledir: “...derece kuzey enlemine ve ...derece bati boylamina
yelken aç, birakilmis bir ada bulacaksin.  Adanin kuzey kiyilarinda çevresi kapali olmayan bir çayir, bu çayirda tek basina duran bir mese bir de çam agaci vardir.  Orada bir de hainleri astigimiz bir daragaci göreceksin.  Daragacindan baslayip mese agacindan dogru adimlarini sayarak gel, mese agacindan bir dik açi kadar saga dön, ayni sayida adimla ilerle, orada yere bir kazik çak.  Buradan yine daragacina gel bu kez çam agacina dogru adimlarini sayarak ilerle, çam agacina gelince bir dik açi kadar sola dön ve bu yönde önce saydigin adimlar kadar ilerle, burada da yere bir kazik çak.  Bu iki kazik arasinin  ortasini bul, gömü oradadir.”

Bu tanim oldukça açik ve kesindi; genç adam bir gemi kiralayip kuzey denizlerine açildi.  Adayi, çayiri, mese ve çam agacini buldu.  Ama eski daragaci kaybolmustu.  Bu tezkere yazildigindan bu yana çok  zaman geçmis oldugu için yagmur, günes ve rüzgar onu yikmis, önceki yerinde iz birakmayacak sekilde topraga karistirip yok etmisti.

Maceraci genç umutsuzluga düsüp çilginca bir öfkeyle bütün çayiri rastgele kazmaya basladi.  Ama bütün çabalari bosa gitti; ada çok büyüktü.  O yüzden eli bos döndü.  Büyük bir olasilikla gömü belki hemen oraciktaydi.

Acikli bir öykü, ama daha acikli olan, bu gencin biraz matematik, özellikle de sanal sayilari kullanmayi bilmesinin bu gömüyü bulmasina yetecek olmasidir.  Adayi, bir karmasik sayilar düzlemi olarak düsünelim.
 
Iki agacin dibinden geçen bir eksen (gerçek eksen) ile bu uzakligin ortasindan geçen baska bir ekseni çizelim.   

Bu iki agaç arasindaki uzakligin yarisini birim olarak alirsak mese agaci gerçek eksende +1 ve çam agaci –1 noktalarinda bulunuyor diyebiliriz.  Daragacinin yerini bilmedigimize göre bunun bilinmeyen yerinin de daragacina benzemesi nedeniyle bunu   harfiyle gösterelim. (Eski Yunan alfabesi)   Daragacinin kesinlikle eksenlerin biri üzerinde bulunmasi gerekli olmadigina göre    bir karmasik sayi olarak düsünülebilir.

Yukarida sözü edilen sanal sayilarin çarpim kurallarini animsayarak basit birkaç hesaplama yapabiliriz.  Daragaci    ve mese –1 noktalarinda iseler aralarindaki uzaklik ve yön   biçiminde gösterilebilir.

Bunun gibi, daragaci ile çam arasindaki uzaklik da     ile gösterilebilir.  Bu iki uzakligi önce saat yelkovani yönünde bir dik açi kadar döndürdükten sonra saat yelkovanina ters yönde yine bir dik açi kadar  döndürmek demek, yukaridaki kurala göre –i ve i ile çarpmak demektir.  Öyleyse kaziklarin çakilacagi noktalar söyle bulunur:
.Birinci kazik:   
. Ikincs kazik:     

Gömü, iki kazik arasindaki uzakligin ortasinda oldugundan, bu iki karmasik sayi toplaminin yarisini bulmaliyiz.  Buradan sunu elde ederiz:

Simdi     ile belirtilen daragacinin bilinmeyen yeri hesaplarimiz sirasinda ortada kalkiyor ve daragaci nerede olursa olsun gömünün +i noktasinda olmasi gerekiyor.

Macera sever genç adam bu yalin matematik islemini yapabilseydi bütün adayi kazmak zorunda kalmayacak, yalnizca X ile gösterilen noktayi kazip gömüyü bulacakti.

Etiketler:  

Bilimler
Matematik
Karmasik sayilar

Sadece kayıtlı kullanıcılar yorum yazabilirler.
Lütfen hesabınıza giriş yapınız veya kayıt olunuz.

---