Matematiğin bir döneminde(ki bu 20.yy'ın ilk yarısında) Hilbert programı adı altında matematiğin temellerinin sağlamlaştırılması başladı. Matematiğin üzerine kurulu olduğu aksiyomların kanıtlanması sürecini ele alıyordu bu program. Aslında ilkten gayet tutarlı gitmişti; fakat ardından Russell'ın bir çelişki bulmasıyla program ilk darbeyi aldı. Russell, daha sonraki çalışmalarıyla bu çelişkiyi kapatacak farklı bir aksiyom ortaya attı ve onun üzerinden Hilbert Programı için yeniden umutlar doğdu; ancak Steward'ın da dediği gibi Gödel'in bulduğu bir çelişki bu programı yerle bir etti. Fakat sizin söylediğiniz "eksiklik teorisi" bir diğer adıyla "karar verilemezlik teoremi" matematiğin sağlam temeller üzerine kurulmadığını tamamıyla gösteremiyor. Gödel, bu teoremle matematiksel mantıkta birtakım karar verilemez cümleler olduğunu söylemişti. Ancak bu cümlelerden herhangi bir örnek göstermemişti. Aslına bakarsanız matematiksel mantıkta ilerleyen bu gelişmeler, kimi matematikçiler için de umursanmaz bir boyuttaydı çünkü bu alanın oldukça kıyı köşede ve matematiğin sağlamlığını etkilemeyecek bir kısımda yer aldığına inanıyorlardı.
Benim fikrimi sorarsanız, ben şu cümleye katılıyorum: "..eğer matematikte kesinliği bulmak gerçekten mümkünse, bu ancak matematiğin yeni, şimdiye kadar güvenmiş olduklarımızdan daha sağlam temellere sahip bir alanında olacak." Bertrand Russell
Ve farkındaysanız matematiğin kesinliğine ihtiyacımız var. Bilimin yaklaşma fikri üzerine kurulu olduğunu biliyoruz. Bize gerçekle ilgili tüm kesinliği verebilecek alan matematiktir; çünkü elimizdeki en sağlam alan o ve bu durumda onun kesinliğine darbe atacak herhangi bir durumu matematiksel mantık yardımıyla ortadan kaldırmamız gerektiğini düşünüyorum.
Fakat önceki konuşmalarımızdan yola çıkarsak, bu durum matematiğin göreceli olduğunu da gösteremez; bu durum yalnızca matematiğin mantıksal alanlarında geliştirmeler yapmamız gerektiğini gösterir. Gödel'in ortaya attığı teoremi geliştiren Paul Cohen, bu durumda Fermat'nın Son Teoremi de dahil olmak üzere bazı problemlerin çözülemeyeceğini söylemişti. Ancak Andrew Weils matematiğin oldukça yeni alanlarını "birleştirerek" "aralarında köprü kurarak" Fermat'nın Son teoremini kanıtlamıştır. Bu durumda diğer problemlerin çözülemeyeceğini hiçbir zaman söyleyemeyiz; sonuçta her an çözülebilirler- ve mantıktaki bu "eksiklik değil" karar verilemezlik durumu için mantığın çok farklı bir bölümünün keşfedilmesi bile olası olabilir.

Öte yandan, sizden Ian Steward'ın bu yazısının bulunduğu makalenin, kitabın vs. adını ve Steward'ın bunu ne zaman yazdığını öğrenebilirsem, gerçekten çok memnun olurum.

Ceren Burçak

Bu hayalcilik değildir; bu ideale ulaşma arzusudur. Bilgisayar, biyoloji, sosyoloji vs. gibi bilimlerin gelişebilmesi de aslen matematiğin kesinliğine dayanmaktadır. İleriki zamanlarda matematiğin bu alanlar üzerine etkisi sadece tek yönlü olmayabilir; gayet matematik de farklı alanlarla çalışmaktan farklı yönlere de dal atabilir. Ancak zaten matematik bir bilim değildir ki; bir dildir. Bundan dolayı kullandığımız dilin en sağlam ve en kesin olması olgusu, şu anda sahip olduğumuz herşeyi etkileyecek düzeyde bir etkidir. Matematik kesin değildir, eksiktir, bundan dolayı sağlam değildir gibi matematiğe atılan bir çamur farkındaysanız yalnızca matematiği etkilemez, matematik dilinin kullanıldığı tüm alanları anlaşılamaz kılar bir anda. Biz burada matematiğin kesin olmayışından bahsetmiyoruz. Aksiyomların doğru olduğu varsayıldığı takdirde matematik bir kesinlik bütünüdür; yukarıda açıkladığım matematiğin mantıksal kısımlarında kesinliğin aranması gerektiği gerçeği. Bu durumda aslında üzerinde çalışılacak tek bir konu var: o da matematiksel mantıktır. ben bunun sonsuz bir yolculuk olacağını sanmıyorum; eğer uygarlık bir şekilde sona ermezse, bunun başarılabileceğine inanıyorum.

Öte yandan, matematik ve fizik arasında belirgin farklar vardır. Fizik, tüm bilimler arasında matematik dilini en yoğun kullanan bilimdir; fakat fiziğin matematikte kullandığı kısımlar, türev, integral, limit gibi kavramlardır. Pür matematik dediğimiz alanın fizikle hiçbir ilgisi şu an için bulunmamaktadır. Yani ileri matematik olarak gördüğümüz (calculus) fiziğin uygulamaları için önemlidir; nitekim limitin içerdiği anlam zaten "yaklaşma" fikridir. Fizik dönemden döneme felsefe değiştirmiştir, halen daha bir felsefeye uyum sağlamaya çalışmaktadır. Klasik fizik dönemi deterministik bir dönemdi. Görelilikle deterministik olma çabasındayken, kuantumla tamamen aksine bir yönelim göstermiştir. Fiziğin her yeni buluşla değişebilmesi gerçeğiyle, matematiğin değişebilmesi ihtimali arasında uçurum fark vardır. Çünkü zaten matematik başlı başına bir felsefedir, pisagordan bu zamana sürekli kendini geliştiren bir felsefe. Yapılan gözlem ve teorik çalışmalara göre, sahip olunan teknolojinin gelişmesi nedeniyle bir bilimin felsefe değiştirmesi çok doğal karşılanabilir, ki bu sizin dediğiniz bir anda değişebilme eylemidir. Fakat bir felsefe zaten belirli temeller üzerine kurulmuştur ve o kökten ayrılıp da farklı bir kök haline gelemez. yalnızca dallanıp, budaklanır ama ana köke her zaman bağlı kalır. tarihteki felsefi izm'leri incelerseniz, akımların hiçbir zaman köklerinden ayrılmadığı tek bu yüzden bir yüzyıl içersinde ölen felsefeler olduğunu fark edersiniz. matematik böyle değildir, matematik dediğimiz felsefe binlerce yıldır sürmektedir. Bir anda değişebilmesine olanak yoktur. Burada mesele matematiğin bulunduğu alanı iyi değerlendirebilmektir.

Ceren Burçak

"Matematiğin bir felsefesi vardır tamam fakat matematik sadece felsevi temeller üzerinemi kuruludur?"

"Fakat her dil gibi matematikte hiç bir zaman "durgun bir su" gibi "tam bir kesinlik" noktasına ulaşağıcağını düşünmüyorum.sürekli değişimler olucak ve hiç bir zaman gelişen insanlık için yeterli olmıyıcak bence.Ve matematiği bir bilim dalı olarak görmemen matematiğe daha felsevi bir açıdan bakmana sebep oluyor.Ve bence tüm soruların cevaplarını bu şekilde bulamayız."

Birtakım yerlerde birbirmizi iyi anlayamıyoruz ve demek istediklerimizi de anladığım kadarıyla tamamıyla aktaramamışız :) Bu konu gerçekten çok güzel uzar ve ben uzamasından yanayım.

Öncelikle felsefenin, genel ve sözcük anlamıyla bilim-bilgi sevgisi olduğunu biliyoruz. Günümüzün ona verdiği anlamı özleştirmem gerekirse, felsefe özetle düşünme şekli, düşünme biçimidir. Felsefe, düşünüştür. Bilim gibi değildir; ancak bilimin de anasıdır. Kaynağını ustan, sezgiden, sayılardan, sözcüklerden vs. alan birtakım mantıksal çıkarımlara uyarak kurallaştırılan, ötesinde soru sorarak ve cevaplayarak kendini geliştiren bir kavramlar-olgular-eylemler bütünüdür. (elimden geldiğince net bir şekilde kurmaya çalıştım umarım anlaşılmaz olmamıştır.) İşte biz burada sizinle çelişiyoruz.

Felsefe dediğimiz o koca dünyanın temellerinin doğuya dayandığı söylenmektedir; ama şu an günümüzün felsefe anlayışı ilk defa Antik Yunan'da görülmüştür. İlk defa ortaya ahlak felsefi konmuştur; hareketlilik-hareketsizlik üstüne tartışmalar olmuştur; evren fikri ortaya atılmıştır; macrokozmos-microkozmos türemiştir, physis'ten fizik bilimi ortaya çıkmıştır, Aristo'yla biyolojinin temelleri atılmıştır vs.; ve tüm bunlar olurken Pythogoras'la da bütün filozofların düşüncesinin aksine çok farklı bir düşünme biçimi doğmuştur. Sayıları temel alan, sayıların mistik yanlarıyla ilgilenen, sayıları dünya gibi gören vs. kısacası resmen sayıların işlevlerini, sayıların muazzam idealliğini felsefe yapan adamlar ortaya çıkmıştır, Pisagor ve onun öğrencileriyle-arkadaşları.
Bizim şu anda matematiği görüş tarzımızla hiçbir alakası yok onların matematiğe bakış tarzlarının. Biz matematiğe dibinden bakınca tepesi gözükmez; tepesinden bakınca dibi gözükmez bir şekilde bakabiliyoruz. Ve bizim için matematik, matematiktir. İşte onun için dil diyoruz, aksiyomları bu aksiyomların üzerine kurulu tanımları, teoremleri, teoremlerinin ispatları var, diyoruz. Onunla birçok şeyi(belki de herşeyi?) gösterebiliyor, tanımlayabiliyoruz.

Matematik; kendini ustan temel alan, kendini ifade etmek için temel olarak sayıları kullanan, mantıksal çıkarımlara sahip aksiyom, tanım, teorem vs. gibi kurallara sahip olan ve soru sordukça büyüyüp, cevaplandıkça farklı sorular üreten bir felsefedir. Matematik nedir dediğimiz zaman, o matematiktir diyemeyiz. Ama o bilim de değildir; ben matematiğin bilim olması görüşüne karşıyım. Bir kere bilimle matematiğin temelleri arasında büyük bir fark var. Bilim ilk ortaya çıktığında yalnızca gözleme dayanıyordu- bu yüzden Thales bir fizikçi değil bir fizyologtu. Bu yüzden Demokritus doğayı inceleyerek maddelerin en küçük bir yapı taşları olmalı, demişti. TÜm bunlardan dolayı, bilimde her yeni gözlemle herşey değişebilir haldedir; şu anki durumda ise eskiye oranla daha sağlam bilgilerimiz var çünkü teorik bilim var ve teorik bilimde matematik var. Ama yine de Russell'ın dediği gibi "bu bir paradox gibi gözükse de tüm bilimler yaklaşma fikrine dayanır." Ötesinde fizik, biyoloji vs. felsefeden doğmuştur diyoruz; fiziğe felsefedir demiyoruz; bilimdir diyoruz. Ama matematik dediğimiz zaman, antik yunan dönemi dallanıp budaklanan bir felsefe bütününün bir koluna girmek zorunda kalıyoruz. (hem de çok kalın bir koluna) matematik, felsefeden doğmuştur diyemeyiz; yalnızca dönemindeki diğer felsefelerle etkileşmiş ve kendi başına bir felsefe olmuştur diyebiliriz. Matematikte, tarih boyunca ortaya çıkan felsefelerin ürünlerini göremezsin; ama bir önceki zamanda dediğim gibi bilimler dönem dönem toplumları etkisi altına alan felsefelerin öncülüğünü yaparlar. Matematik, tüm bunlar yaşanırken kendi içindedir, kendi kendisiyledir ve kendi kendine yetebilir düzeydedir. Onu felsefe yapan bu özelliğidir; ama öte yandan tarihte belirli bir dönemden sonra bilimlerde vazgeçilemez bir "iletişim aracı" oluşundan dolayı da bir dildir.

En baştaki sorunuzu cevaplamış oluyorum bu durumda; matematiğin temellerine tarafsız bir şekilde baktığımızda temellerinde yalnızca felsefenin bulunduğunu görmüş oluyoruz. İkincisi, benim olaylara felsefi bir bakış açısıyla bakıyor olmam; benim olaylara kritik ve sorgulayan bir bakış açısıyla bakıyor olmam anlamına gelir; ki bu da sanırım günümüz biliminin ihtiyacı olduğu şeydir. Bir sorunu ister matematikle ister bilimle çözün; ikisinin de temelde ne olduğuna bakarsanız, felsefi bir yaklaşımınız olması gerektiğini anlarsınız. Felsefesiz bir bilim ve matematik düşünülebilmesini anlayamıyorum.

Son olarak da, ben dalları kökten ayıracak bir değişimin olanaksızlığından bahsetmiştim; sizin yukarıda belirttiğiniz yalnızca bir yenilenme olayı elbette ki benim mantığıma da uygundur. Bu bir felsefenin gününün koşullarına ayak uydurabilmesi için olması gereken bir zorunluluktur. Matematik bir durgun su olsaydı, hemencecik kirlenirdi. Felsefeler hareketli olduğu sürece varolular ve matematiğin yaşına bakarsak onun en aktif su olduğunu söyleyebiliriz :) Matematik, sürekli sert rüzgarların estiği bir yerde hiçbir eğimi olmayan bir deredir bence. Rüzgarlar suları savurabilir, dalgalar yaratabilir ve yüzeyde her türlü değişikliğe açıktır; ama eğimin olmayışından dolayı derinde daha az hareket vardır ve bundan dolayı da yüzeye oranla daha sabittir.

Antik Yunan öncesi uygarlıkların (Mısır, Mezapotamya, Hint gibi) kullandığı matematikten bahsediyorsunuz sanırım? Hatta ticaretle ortaya çıkan "sayma zorunluluğundan".. ve tarım için kullanılan geometri bilgisinden.. Olaya buradan bakıldığında matematik ilk defa buralarda kullanılmıştır ve Antik Yunan onu geliştirmiş denilebilir; fakat burada kullanılan matematik pratik amaçları olan bir matematiktir. Hiçbir ussal gelişim yoktur; ben önceden de dediğim gibi olaya bu bakış açısından bakarsak, felsefe de Antik Yunan'da başlamamıştır. Çin başta olmak üzere birçok eski uygarlıkta ortaya çıkmış felsefi öğretiler vardır ama bunlar birer felsefe kabul edilmezler; öğreti kabul edilirler. Bu zamanlarda kullanılan matematiği de, şu anki anlayışımızla ve Antik Yunandaki matematik anlayışıyla karşılaştırabileceğimizi sanmıyorum.

Eğer Ceren bu zorunluluklarla doğmuş matematiği bırak, antik yunanın keşiflerinden önce de keşfedilmiş birtakım matematiksel kavramlar vardır doğuda, derseniz; o zaman yine en başta söylediğime döneriz. Sonuçta, doğudaki bu matematik çok ilerlemiş bir matematik değildi; ama ilerleyebildiği kadarıyla da kendi içersinde bir felsefi öğreti olarak başlayabileceği tutarlı bir düşüncedir. Nitekim derinlik isteyen keşiflerin başında her zaman bir düşünüş; düşünüşün olduğu yerde de felsefe bulunmak zorundadır.

Bunu Pisagor'a bağlamamıza gerek var mı? Eninde sonunda matematiğin üzerine oturduğu temellerin derinliğe sahip olması gerekmiyor mu? Açıkçası bu benim düşüncem ben matematiği derin bir felsefe içersinde görüyorum. Bu kadar derin olması nedeniyle bu kadar dallanmış bir şekilde şu anda, bence.

Öncelikle beni anladığınızı duymak gerçekten beni çok sevindi; çünkü genelde insanlar sizin gibi sabırla beni dinleyip, bana karşılık vermezler ve de anlamazlar tabii :)
Elbette bu kadar dallanmasında sadece derin oluşu olamaz. Bir olgunun oluşmasının altında genellikle birden fazla unsur bulunur ne de olsa! Merak meselesine sonuna kadar katılıyorum.
"Ama felsefe daha çok pür matematiğin gelişmesine sebep olmuştur."
Evet gerçekten de "daha çok" pür matematiğin gelişmesini sağlamıştır ancak bu hiçbir zaman bizim bilimlerde kullandığımız matematiğin felsefi çıkarımlarını yapamayacağız anlamına da gelmez, bana göre. Sonuçta bir fizikçiyi gerçekten başarılı kılan aynı zamanda iyi bir filozof olabilmesi(en azından bir felsefeci olabilmesi)dir. Fizikte doğayı açıklamak için felsefe kullanılıyorsa, fizikte doğayı teoriye dökmemizi sağlayan matematik için de felsefi çıkarımlarımız olabilir belki bir gün!

Bu arada sizden Ian Steward'tan alıntı yaptığınız kitabın adını öğrenebilir miyim?