Matematik Dersleri(Türevler)

:a8:l. TürevinTanım: Fonksiyonların eğim noktalarının özel teknik bilgilerle hesaplanması olayına,
türev alma denmektedir. Türevler oluşlarına göre sağdan türev ve soldan türev olmak üzere ikiye ayrılır.Kurallı bir türev olması için sağdan türev ile soldan türevin eşit olması gerekmektedir.Bu nedenle sağdan türev ve soldan türevlere tabir yerinde ise;tüev şartı,türev koşulu,türev benzeri de demek mümkündür.Buna paralel olarak f(x) fonksiyonu f(x0) noktasında türev olması için sağdan türev ile soldan türevin eşit olması yanında sürekli olması gerekmektedir.
ll. Türevin Formülü: Türevin ana formülü ve buna paralel olarak değişkenlerini değiştirmek suretiyle oluşturulan ikincil formül olmak üzere iki formülü vardır.Türevin ana formülü:
f(x)- f(x0)
f’(x)=lim---------- bütün türevlerde bu formül geçerlidir. Ancak Türevin ana formülünde bazı
x---0 x-x0
değişkenlerin belirli kural dahilinde değiştirilmesi sonucu değiştirmez.Öyle ise türevin ikincil formülünü yazabiliriz. Önce değişkenlerin eşitini bulalım.
x-x0=h ise x=xo+h olur. f(xo+h)-f(x0)
f’(x)=lim----------------- formülü elde edilir.
h----o h
xo=x olursa.
. f(x+h)-f(x)
f’(x)=lim----------------- formülü elde edilir. ( türevin ikincil formülü)
h----o h
y=f(x) ise,f’(x) ifadesi,
df dy dy(x)
y’, ---, -----,-------- biçimlerinde de gösterilebilir.
dx dx dx
lll. Türevin hesaplanması:
a) Belirli Nokta Verilirse Hesaplama
Bir fonksiyondan belirli bir nokta (x0) verilir de o noktada türev istenirse, Türevin hesaplanması Türevin ana formülü olan
f(x)- f(x0)
f’(x)=lim---------- formülünden yapılacaktır.
x---0 x-x0
b) Belirli Nokta Verilmezse Hesaplama
Bir fonksiyondan belirli bir nokta (x0) verilmez de yalnız türev istenirse, Türevin hesaplanması Türevin ikincil formülü olan
f(x+h)- f(x)
f’(x)=lim---------- formülünden yapılacaktır.
h---0 h
c) Türev çeşitlerine Göre Hesaplama
Türev çeşitlerinde de türev formülleri uygulanır;ancak her türev çeşitinde özel formülelerde türev formüllerine paralel olarak uygulanır.
lV. Türevin Çeşitleri
Türevler oluşlarına göre sağdan türev ve soldan türev olmak üzere ikiye ayrılır.Türevler kapsamlarına göre 19 alt gruba ayrılır ve bunlar şunlardır.
Polinom Fonksiyonların Türevi, Sabit Fonksiyonların Türevi,Toplam Fonksiyonların Türevi,Fark Fonksiyonların Türevi,Kesir Fonksiyonların Türevi,Üstel Fonksiyonların Türevi,Bileşke Fonksiyonların Türevi,Zincir Fonksiyonların Türevi,Mutlak Değer Fonksiyonların Türevi,Ters Fonksiyonların Türevi, Trigonemetrik Fonksiyonların TüreviTers trigonemetrik Fonksiyonların Türevi,Logaritmik Fonksiyonların Türevi,Tam Değer Fonksiyonların Türevi,Özel Tanımlı Fonksiyonların Türevi,Yüksek Mertebe Fonksiyonların Türev,Kapalı Fonksiyonların Türevi,Parametrik Fonksiyonların Türevi,İşaret Fonksiyonların Türevi olmak üzere 19 adettir.
lV. Türevin Çeşitleri
A. Oluşlarına Göre Türevler
3.   Sağdan türev
Sağdan türev x’in + sıfıra gittiği bir türev çeşididir.Formül aynı türev formülüdür; ve şöyledir.
f(x)- f(x0)
f’(x)=lim---------- Sağdan türevlere daha çok kritik noktalarda bakılır.
x---+0 x-x0
4.   Soldan türev
Sağdan türev x’in - sıfıra gittiği bir türev çeşididir.Formül aynı türev formülüdür; ve şöyledir.
f(x)- f(x0)
f’(x)=lim---------- Soldan türevlerede, Sağdan türevler gibi daha çok kritik noktalarda bakılır.
x----0 x-x0

B. Kapsamlarına Göre Türevler
1.   Polinom Fonksiyonların Türevi: Polinom fonksiyonlar xüssü n şeklinde olan fonksiyonlardır.
Polinom fonksiyonların formülü üssün fonksiyon üssü eksi birle çarpımına eşittir.
n n-1
f(x)=x ise, f’(x)=n.x (Polinom fon ksiyonların türev formülü)
2 2-1 3 3-1 2
örnek: f(x)=3x ise, f(x)=2.3x=6x dir f(x)=2x ise, f(x)=3.2x=6x dir.
2.   Sabit Fonksiyonların Türevi
Sabit fonksiyonlar adındanda anlaşılacağı gibi,sabit olup değişmeyen fonksiyonlardır. Sabit Fonksiyonların türevi herzaman sıfıra eittir.
örnek: f(x)=5+7+8+9+3 ise, f’(x)=0 dır. (Sabit fon ksiyonların türev formülü)
3.   Toplam Fonksiyonların Türevi
Toplam fonksiyonların türevi verilen fonksiyonların türevleri toplamına eşittir.
f(x)+g(x)=f’(x)+g’(x) (Toplam fon ksiyonların türev formülü)
3 4 2 3 7 5 6 4
örnek: f(x)=3x +7x ise, f’(x)=9x+21x dür. , f(x)=2x+3x ise, f(x)=14x+15x dür.
4.   Fark Fonksiyonların Türevi
Fark fonksiyonların türevi verilen fonksiyonların türevleri farkına eşittir.
f(x)-g(x)=f’(x)-g’(x) (Fark fon ksiyonların türev formülü)
3 2 7 5 2
örnek: f(x)=13x -7x ise, f’(x)=6x dir. , f(x)=12x-3x ise, f(x)=5x dir.
5.   Çarpım Fonksiyonların Türevi
Çarpım fonksiyonların türevi verilen fonksiyonların,birincinin türevi ile ikincinin kendi çarımının, birincinin kendi, ikincinin türevi çarımının, toplamına eşittir.
örnek: f(x)=13x.7x ise, f’(x)= 13x.7x’+13x’.7x dir. , f(x)=12x.3x ise, f(x)= 12x.3x’+12x’.3x dir.
6.   Kesir Fonksiyonların Türevi
Kesir fonksiyonların türevi; payın kendi ile paydanın türevinin çarımının; payın türevi ile paydanın kendinin çarımının, farkının,paydanın karesine bölümüne eşittir.
13x+2 (13x+2).(10x-3)’-(13x+2)’.(10x-3)
örnek: f(x)=------- ise, f’(x)=------------------2---------------- dir.
10x-3 (10x-3)
7.   Üstel Fonksiyonların Türevi
Kesir fonksiyonların türevi; payın kendi ile paydanın türevinin çarımının; payın türevi ile paydanın kendinin çarımının, farkının,paydanın karesine bölümüne eşittir.
13x+2 (13x+2).(10x-3)’-(13x+2)’.(10x-3)
örnek: f(x)=------- ise, f’(x)=------------------2---------------- dir.
10x-3 (10x-3)